I problemi inversi (IP) sono ubiqui nella scienza e nell'ingegneria e si presentano quando una quantità deve essere ricostruita da misurazioni indirette. Ogni qualvolta la fisica gioca un ruolo cruciale nella descrizione di un problema inverso, il modello matematico si basa su un'equazione differenziale parziale (PDE). Molte modalità di imaging appartengono a questa categoria, tra cui l'ecografia, la tomografia ad impedenza elettrica e la tomografia fotoacustica. Appaiono molti tipi differenti di PDE, a seconda del settore della fisica considerato. L'analisi teorica di molti IP in PDE è molto sviluppata. Risultati di unicità, stime di stabilità e algoritmi di ricostruzione abbondano. Tuttavia, questi risultati sono spesso troppo astratti per avere un forte impatto nelle applicazioni, dove molte modalità sicure ed efficaci hanno avuto un uso molto limitato a causa della bassa qualità di ricostruzione. Questo è principalmente dovuto alle seguenti due limitazioni fondamentali:
1. La maggior parte degli studi teorici viene condotta in contesti ideali, utilizzando modelli di PDE approssimati. Anche se ciò semplifica l'analisi, non permette di applicare questi risultati alla maggior parte degli scenari del mondo reale, che sono descritti da modelli più complicati. L'analisi di tali modelli, specialmente per quanto riguarda i problemi inversi correlati, è ancora agli inizi.
2. Anche nei casi in cui possono essere utilizzati questi modelli semplificati, c'è sempre un divario tra i risultati teorici astratti (tipicamente sulla unicità, stabilità e algoritmi di ricostruzione in dimensioni infinite) e le implementazioni numeriche.
L'obiettivo principale di questo progetto è superare queste limitazioni con un approccio multidisciplinare. Da un lato, utilizzeremo metodi avanzati della teoria delle PDE come la continuazione unica per fornire un'analisi matematica rigorosa di diversi problemi inversi associati a modelli complicati di PDE. D'altro canto, combineremo le tecniche della teoria delle PDE con metodi di analisi numerica (inclusa la teoria della regolarizzazione e dell'ottimizzazione), analisi armonica applicata (inclusa la teoria delle wavelet e il compressed sensing) e apprendimento automatico (incluso il deep learning) al fine di colmare il divario discusso sopra, sviluppando algoritmi di ricostruzione supportati da una rigorosa comprensione teorica ed efficaci dal punto di vista numerico. Sebbene l'obiettivo principale di questo progetto sia sviluppare la matematica degli IP in PDE, un risultato a lungo termine di questo progetto è l'implementazione delle scoperte del progetto in scenari del mondo reale. La ricerca del PI, focalizzata sulla teoria delle PDE, sull'analisi armonica astratta e applicata e sui problemi inversi astratti e numerici, garantirà un coordinamento attivo di tutte le attività di questo progetto. Inoltre, le diverse competenze portate dalle tre unità su tutte le metodologie sopra menzionate consentiranno un'interazione fruttuosa di tutti i ricercatori e, alla fine, assicureranno il successo di questo progetto.