From Microscopic Interactions to Macroscopic Laws: Duality, Algebraic Structures, and Universality in Interacting Particle Systems

I processi di Markov, come i sistemi di particelle interagenti, i processi di diffusione e i modelli di redistribuzione, forniscono potenti strumenti matematici per descrivere il comportamento collettivo di un gran numero di componenti interagenti. In questo contesto, le particelle rappresentano energie o masse, e i modelli vengono applicati per studiare diversi fenomeni come il trasporto di massa, il magnetismo e la conduzione del calore. L’obiettivo principale di questo progetto è analizzare e caratterizzare tali modelli da due prospettive complementari: la scala microscopica, che si concentra sulla dinamica delle particelle e sulle loro interazioni locali, e la scala macroscopica, in cui emerge l’evoluzione globale del sistema. I collegamenti rigorosi tra queste due scale sono stabiliti attraverso limiti di scala che portano a descrizioni della dinamica in cui emergono diverse classi di universalità. A livello microscopico, la principale questione di interesse proviene dalla fisica statistica: una volta che i modelli sono messi in contatto con serbatoi esterni operanti con parametri differenti, si manifestano fenomeni fuori dall’equilibrio. In termini generali, un sistema è fuori equilibrio se esiste una corrente (di particelle, carica o energia) che attraversa il sistema. Al contrario, in equilibrio, ossia quando i sistemi sono isolati dall’ambiente, essi ammettono una misura stazionaria e reversibile in forma semplice. La reversibilità si perde fuori dall’equilibrio e le distribuzioni microscopiche stazionarie non sono note, salvo pochissime eccezioni. Per ottenere informazioni su tali stati stazionari, la proprietà di dualità dei modelli gioca un ruolo cruciale, permettendo di raccogliere informazioni sulle correlazioni a lungo raggio. A livello macroscopico, il fulcro del progetto è derivare le leggi su larga scala che governano l’evoluzione del sistema a partire dalle interazioni tra particelle sottostanti. Questo viene ottenuto attraverso opportuni limiti di scala (ad esempio il limite idrodinamico o idrostatico), che portano a equazioni differenziali parziali deterministiche o stocastiche con condizioni al contorno che riflettono l’intensità dei serbatoi esterni. Nella letteratura esistente, ci sono numerosi risultati per diversi sistemi che stabiliscono i tali limiti idrodinamici e le relative fluttuazioni. Tuttavia, le dimostrazioni sono spesso costruite su misura per modelli specifici e si basano su tecniche dipendenti dal modello. Intendiamo dunque concentrarci su classi di modelli che condividono ipotesi naturali, come la condizione di gradiente e la proprietà di dualità, con l’obiettivo di sviluppare un approccio generale che non sia legato a uno specifico modello. Il progetto mira quindi a rivelare le leggi fenomenologiche che governano la dinamica del sistema. Questo viene perseguito attraverso una descrizione microscopica di diversi modelli, che a sua volta conduce a un trattamento macroscopico unificato, ovvero tramite l’ottenimento di equazioni differenziali parziali la cui soluzione descrive l’evoluzione spazio/temporale dei sistemi. Fino ad oggi, manca una derivazione rigorosa e completa delle leggi fenomenologiche fuori dall’equilibrio a partire dalla dinamica microscopica sottostante, e questa ricerca rappresenterebbe quindi un ulteriore passo in tale direzione.